Moving Average Or Low Pass Filter

Resposta de Freqüência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso, A resposta de impulso de uma média móvel de L é de média móvel. Uma vez que o filtro de média móvel é FIR, a resposta de freqüência reduz-se à soma finita We Pode usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixar ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados ​​na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Certas frequências mais elevadas, como pi / 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das frequências mais altas são atenuadas apenas por um factor de cerca de 1/10 (para a média móvel de 16 pontos) ou 1/3 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código de Matlab: omega 0: pi / 400: pi H4 (1/4) (1-exp (-iomega4)) ./ (1-exp (-iomega)) H8 (1/8 ) (1-exp (-iomega8)) ./ (1-exp (-iomega)) lote (omega , Abs (H4) abs (H8) abs (H16) eixo (0, pi, 0, 1) Copyright 2000- - Universidade da Califórnia, Berkeley Atualizado 12 de março de 2013 O que são RC Filtering e Exponential Averaging e como eles diferem The Resposta para a segunda parte da questão é que eles são o mesmo processo Se um vem de um fundo eletrônico, em seguida, RC Filtering (ou RC Smoothing) é a expressão usual. Por outro lado uma abordagem baseada em estatísticas de séries temporais tem o nome de média exponencial, ou para usar o nome completo ponderada exponencial média móvel. Isso também é conhecido como EWMA ou EMA. Uma vantagem chave do método é a simplicidade da fórmula para calcular a próxima saída. É preciso uma fração da saída anterior e uma menos essa fração vezes a entrada atual. Algebricamente no tempo k a saída suavizada y k é dada por Como mostrado mais adiante esta fórmula simples enfatiza eventos recentes, suaviza as variações de alta freqüência e revela tendências de longo prazo. Observe que há duas formas da equação de média exponencial, a acima e uma variante Ambos estão corretos. Consulte as notas no final do artigo para obter mais detalhes. Nesta discussão usaremos apenas a equação (1). A fórmula acima é às vezes escrita de forma mais limitada. Como é derivada esta fórmula e qual é a sua interpretação Um ponto-chave é como podemos selecionar. Para olhar para esta uma maneira simples é considerar um filtro de baixa passagem RC. Agora, um filtro passa-baixo RC é simplesmente um resistor em série R e um condensador paralelo C como ilustrado abaixo. A equação da série de tempo para este circuito é O produto RC tem unidades de tempo e é conhecido como a constante de tempo, T. Para o circuito. Suponha que representamos a equação acima em sua forma digital para uma série de tempo que tem dados tomados a cada h segundos. Esta é exatamente a mesma forma que a equação anterior. Comparando os dois relacionamentos para a temos que reduz para a relação muito simples Daí a escolha de N é guiado por que constante de tempo que escolhemos. Agora a equação (1) pode ser reconhecida como um filtro passa-baixo ea constante de tempo tipifica o comportamento do filtro. Para ver o significado da Constante de Tempo, precisamos examinar a característica de freqüência deste filtro RC de passa baixa. Em sua forma geral isto é Expressando em módulo e forma de fase temos onde o ângulo de fase é. A freqüência é chamada freqüência de corte nominal. Fisicamente pode ser mostrado que a esta frequência a potência no sinal foi reduzida em metade ea amplitude é reduzida pelo factor. Em termos de dB esta frequência é onde a amplitude foi reduzida em 3dB. Claramente à medida que a constante de tempo T aumenta, então a freqüência de corte diminui e aplicamos mais suavização aos dados, ou seja, eliminamos as freqüências mais altas. É importante notar que a resposta de freqüência é expressa em radianos / segundo. Isso é há um fator de envolvido. Por exemplo, escolher uma constante de tempo de 5 segundos dá uma freqüência de corte efetiva de. Um uso popular do alisamento de RC é simular a ação de um medidor tal como usado em um Medidor de Nível de Som. Geralmente são tipificados por sua constante de tempo, como 1 segundo para tipos S e 0,125 segundos para tipos F. Para estes dois casos, as frequências de corte efectivas são 0,16 Hz e 1,27 Hz, respectivamente. Na verdade, não é a constante de tempo que geralmente desejamos selecionar, mas aqueles períodos que desejamos incluir. Suponha que temos um sinal onde queremos incluir características com um P segundo período. Agora um período P é uma freqüência. Poderíamos então escolher uma constante de tempo T dada por. No entanto, sabemos que perdemos cerca de 30 da saída (-3dB) em. Assim, escolher uma constante de tempo que corresponde exatamente às periodicidades que desejamos manter não é o melhor esquema. Geralmente é melhor escolher uma freqüência de corte ligeiramente maior, digamos. A constante de tempo é então que, em termos práticos, é semelhante a. Isso reduz a perda para cerca de 15 nesta periodicidade. Portanto, em termos práticos para reter eventos com uma periodicidade de ou maior, em seguida, escolher uma constante de tempo de. Isso inclui os efeitos das periodicidades de até cerca de. Por exemplo, se quisermos incluir os efeitos de eventos acontecendo com dizer um período de 8 segundos (0.125Hz), então escolha uma constante de tempo de 0,8 segundos. Isto dá uma frequência de corte de aproximadamente 0,2Hz de modo que o nosso período de 8 segundos está bem na banda de passagem principal do filtro. Se estivéssemos a amostrar os dados a 20 vezes / segundo (h 0,05) então o valor de N é (0,8 / 0,05) 16 e. Isso dá algumas dicas sobre como definir. Basicamente, para uma taxa de amostra conhecida, ela tipifica o período de média e seleciona quais flutuações de alta freqüência serão ignoradas. Observando a expansão do algoritmo podemos ver que ele favorece os valores mais recentes, e também por que é referido como ponderação exponencial. Nós temos Substituindo por y k-1 dá Repetindo este processo várias vezes leva a Porque está no intervalo, então, claramente os termos para a direita tornam-se menores e se comportam como uma exponencial decadente. Essa é a saída atual é tendenciosa para os eventos mais recentes, mas quanto maior nós escolhemos T, então o viés menos. Em resumo vemos que a fórmula simples enfatiza eventos recentes suaviza eventos de alta freqüência (curto período) revelam tendências de longo prazo. Precaução Existem duas formas da equação de média exponencial que aparecem na literatura. Ambos são corretos e equivalentes. A primeira forma como mostrado acima é (A1) A forma alternativa é 8230 (A2) Observe o uso de na primeira equação e na segunda equação. Em ambas as equações e são valores entre zero e unidade. Em termos físicos, isso significa que a escolha da forma que se usa depende de como se quer pensar em tomar como a equação da fração de alimentação (A1) ou Como a fração da equação de entrada (A2). A primeira forma é ligeiramente menos complicada em mostrar a relação de filtro RC, e leva a uma compreensão mais simples em termos de filtro. Analista Principal de Processamento de Sinais da Prosig O Dr. Colin Mercer é Analista de Processamento de Sinais da Prosig e é responsável pelo processamento de sinal e suas aplicações. Foi anteriormente no Instituto de Pesquisa de Som e Vibração (ISVR) na Universidade de Southampton, onde fundou o Centro de Análise de Dados. Ele é um engenheiro fretado e um membro da British Computer Society. Eu acho que você quer mudar o 8216p8217 para o símbolo de pi. Marco, obrigado por apontar isso. Acho que este é um dos nossos artigos mais antigos que foi transferido de um antigo documento de processamento de texto. Obviamente, o editor (eu) não conseguiu perceber que o pi não tinha sido transcrita corretamente. Ele será corrigido em breve. Eu acho que há um erro na fórmula para T. Deve ser T h (N-1), não T (N-1) / h. Mike, obrigado por perceber isso. Acabei de verificar novamente para Dr. Mercer8217s nota técnica original em nosso arquivo e parece que houve erro feito ao transferir as equações para o blog. Vamos corrigir o post. Obrigado por nos deixar saber Obrigado obrigado obrigado. Você poderia ler 100 textos DSP sem encontrar nada dizendo que um filtro de média exponencial é o equivalente a um filtro R-C. Hmm, você tem a equação para um filtro EMA correta não é Yk aXk (1-a) Yk-1 em vez de Yk aYk-1 (1-a) Xk Alan, Ambas as formas da equação aparecem na literatura e Ambos os formulários estão corretos como mostrarei abaixo. O ponto que você faz é importante porque usar a forma alternativa significa que a relação física com um filtro RC é menos aparente, além disso a interpretação do significado de um mostrado no artigo não é apropriado para a forma alternativa. Primeiro vamos mostrar que ambas as formas estão corretas. A forma da equação que eu usei é e a forma alternativa que aparece em muitos textos é Note no acima Eu usei latex 1 / latex na primeira equação e latex 2 / latex na segunda equação. A igualdade de ambas as formas da equação é demonstrada matematicamente abaixo de passos simples de cada vez. O que não é o mesmo é o valor usado para látex / látex em cada equação. Em ambas as formas, látex / látex é um valor entre zero e unidade. Primeiro reescreva a equação (1) substituindo o látex 1 / látex pelo látex / látex. Agora, definimos latexbeta (1 - 2) / latex e por isso também temos látex 2 (1 - beta) / látex. Substituindo estes na equação (1A) dá latexyk (1 - 2) y 2xk / latex 8230 (1B) E finalmente re-arranjar dá Esta equação é idêntica à forma alternativa dada na equação (2). Coloque mais simplesmente látex 2 (1 - 1) / látex. Em termos físicos, isso significa que a escolha da forma que se usa depende da forma como se quer pensar em tomar latexalpha / latex como a equação da fração de feed back (1) ou como a fração da equação de entrada (2). Como mencionado acima eu usei a primeira forma, pois é um pouco menos pesado em mostrar a relação do filtro RC, e leva a uma compreensão mais simples em termos de filtro. No entanto omitindo o acima é, em minha opinião, uma deficiência no artigo como outras pessoas poderiam fazer uma inferência incorreta para uma versão revista aparecerá em breve. Sempre me perguntei sobre isso, obrigado por descrevê-lo tão claramente. Eu acho que outra razão a primeira formulação é agradável é mapas alfa para 8216smoothness8217: uma maior escolha de alfa significa uma saída 8216more smooth8217. Michael Obrigado pela observação 8211 Vou acrescentar ao artigo algo sobre essas linhas, pois é sempre melhor, na minha opinião, relacionar-se com aspectos físicos. Dr. Mercer, excelente artigo, obrigado. Tenho uma pergunta sobre a constante de tempo quando usado com um detector rms como em um medidor de nível de som que você se refere no artigo. Se eu usar suas equações para modelar um filtro exponencial com Constante de Tempo 125ms e usar um sinal de passo de entrada, eu realmente obter uma saída que, após 125ms, é 63,2 do valor final. No entanto, se eu quadrado o sinal de entrada e colocar isso através do filtro, então eu vejo que eu preciso dobrar a constante de tempo para que o sinal de chegar a 63,2 do seu valor final em 125ms. Você pode me informar se isso é esperado. Muito obrigado. Ian Ian, Se você quadrado um sinal como uma onda senoidal, em seguida, basicamente, você está dobrando a freqüência de sua fundamental, bem como a introdução de lotes de outras freqüências. Porque a frequência foi, com efeito, duplicada, está a ser reduzida 8217 por uma quantidade maior pelo filtro passa-baixo. Em consequência, leva mais tempo para atingir a mesma amplitude. A operação de quadratura é uma operação não linear, então eu não acho que ela sempre dobrará precisamente em todos os casos, mas tenderá a dobrar se tivermos uma freqüência baixa dominante. Observe também que o diferencial de um sinal quadrado é o dobro do diferencial do sinal 8220un-squared8221. Eu suspeito que você pode estar tentando obter uma forma de quadrado médio suavização, que é perfeitamente bem e válido. Pode ser melhor aplicar o filtro e, em seguida, quadrado como você sabe o corte eficaz. Mas se tudo o que você tem é o sinal quadrado, em seguida, usando um fator de 2 para modificar o seu filtro de valor alfa irá aproximá-lo voltar à freqüência de corte original, ou colocá-lo um pouco mais simples definir sua freqüência de corte em duas vezes o original. Obrigado pela sua resposta Dr. Mercer. Minha pergunta era realmente tentar obter o que é realmente feito em um detector rms de um medidor de nível de som. Se a constante de tempo for definida para 8216fast8217 (125ms) eu teria pensado que intuitivamente você esperaria um sinal de entrada sinusoidal para produzir uma saída de 63,2 do seu valor final após 125ms, mas desde que o sinal está sendo quadrado antes de chegar ao 8216mean8217 Detecção, ele realmente vai levar o dobro do tempo que você explicou. O objetivo principal do artigo é mostrar a equivalência da filtragem RC e da média exponencial. Se estamos discutindo o tempo de integração equivalente a um verdadeiro integrador retangular, então você está correto que há um fator de dois envolvidos. Basicamente, se temos um verdadeiro integrador retangular que integra para Ti segundos o equivalente RC tempo integator para alcançar o mesmo resultado é 2RC segundos. Ti é diferente do RC 8216 tempo constante 8217 T que é RC. Assim, se temos uma constante de tempo 8216Fast8217 de 125 ms, que é RC 125 ms, então que é equivalente a um verdadeiro tempo de integração de 250 msec Obrigado pelo artigo, foi muito útil. Existem alguns trabalhos recentes em neurociência que usam uma combinação de filtros EMA (EMA de curta janela EMI 8211 de longa janela EMA) como um filtro passa-banda para análises de sinal em tempo real. Gostaria de aplicá-los, mas eu estou lutando com os tamanhos janela diferentes grupos de pesquisa têm utilizado e sua correspondência com a freqüência de corte. Let8217s dizer que eu quero manter todas as freqüências abaixo de 0.5Hz (aprox) e que eu adquiro 10 amostras / segundo. Isso significa que fp 0,5Hz P 2s T P / 100,2 h 1 / fs0.1 Portanto, o tamanho da janela I deve estar usando deve ser N3. É este raciocínio correto Antes de responder à sua pergunta, devo comentar sobre o uso de dois filtros de alta freqüência para formar um filtro passa banda. Presumivelmente eles funcionam como dois fluxos separados, então um resultado é o conteúdo de dizer latexf / latex para metade da taxa de amostragem eo outro é o conteúdo de dizer latexf / latex para metade da taxa de amostragem. Se tudo o que está sendo feito é a diferença nos níveis quadrados médios como indicando a potência na faixa de látex / látex para latex / látex, então pode ser razoável se as duas freqüências de corte estão suficientemente distantes, mas eu espero que as pessoas que usam Esta técnica está tentando simular um filtro de banda mais estreito. Na minha opinião, isso não seria confiável para um trabalho sério e seria motivo de preocupação. Apenas para referência um filtro passa banda é uma combinação de um filtro passa-alta de baixa freqüência para remover as baixas freqüências e um filtro passa-baixa de alta freqüência para remover as altas freqüências. Existe naturalmente uma forma de passagem baixa de um filtro RC e, consequentemente, uma EMA correspondente. Talvez, embora meu julgamento seja excessivamente crítico sem conhecer todos os fatos. Então, por favor, envie-me algumas referências aos estudos que você mencionou para que eu critique como apropriado. Talvez eles estão usando um passe baixo, bem como um filtro passa-alta. Agora, voltando-se para sua pergunta real sobre como determinar N para uma determinada freqüência de corte de alvo, acho que é melhor usar a equação básica T (N-1) h. A discussão sobre os períodos foi destinada a dar às pessoas uma sensação do que estava acontecendo. Então veja a derivação abaixo. Temos as relações latexT (N-1) h / latex e latexT1 / 2 / latex onde latexfc / latex é a frequência de corte nocional e h é o tempo entre amostras, claramente latexh 1 / / latex onde latexfs / latex é o Amostra em amostras / seg. A reorganização de T (N-1) h numa forma adequada para incluir a frequência de corte, latexfc / latex e taxa de amostragem, latexfs / latex, é mostrada abaixo. Então, usando latexfc 0,5Hz / latex e latexfs 10 / latex amostras / seg para que látex (fc / fs) 0,05 / latex dá Então, o valor inteiro mais próximo é 4. Re-arranjar o acima temos Então, com N4 temos latexfc 0,5307 Hz /látex. Utilizando N3 dá-se um latexfc / látex de 0,318 Hz. Nota com N1 temos uma cópia completa sem filtragem. Movendo filtro médio (filtro MA) Carregando. O filtro de média móvel é um simples filtro Low Pass FIR (Finite Impulse Response) comumente usado para suavizar uma matriz de dados / sinal amostrados. Ele toma M amostras de entrada de cada vez e pegue a média dessas M-amostras e produz um único ponto de saída. É uma estrutura de LPF (Low Pass Filter) muito simples que é útil para cientistas e engenheiros para filtrar o componente ruidoso indesejado dos dados pretendidos. À medida que o comprimento do filtro aumenta (o parâmetro M) a suavidade da saída aumenta, enquanto que as transições nítidas nos dados são feitas cada vez mais sem corte. Isto implica que este filtro tem excelente resposta no domínio do tempo, mas uma resposta de frequência pobre. O filtro MA executa três funções importantes: 1) Toma M pontos de entrada, calcula a média desses pontos M e produz um único ponto de saída 2) Devido à computação / cálculos envolvidos. O filtro introduz uma quantidade definida de atraso 3) O filtro age como um Filtro de Passagem Baixa (com fraca resposta de domínio de freqüência e uma boa resposta de domínio de tempo). Código Matlab: O código matlab seguinte simula a resposta no domínio do tempo de um filtro M-point Moving Average e também traça a resposta de freqüência para vários comprimentos de filtro. Time Domain Response: No primeiro gráfico, temos a entrada que está entrando no filtro de média móvel. A entrada é barulhenta e nosso objetivo é reduzir o ruído. A figura a seguir é a resposta de saída de um filtro de média móvel de 3 pontos. Pode-se deduzir da figura que o filtro de média móvel de 3 pontos não tem feito muito na filtragem do ruído. Aumentamos os toques do filtro para 51 pontos e podemos ver que o ruído na saída reduziu muito, o que é mostrado na próxima figura. Nós aumentamos as derivações para 101 e 501 e podemos observar que mesmo que o ruído seja quase zero, as transições são drasticamente ditas (observe a inclinação em ambos os lados do sinal e compare-as com a transição ideal da parede de tijolo em Nossa entrada). Resposta de Freqüência: A partir da resposta de freqüência pode-se afirmar que o roll-off é muito lento ea atenuação de banda de parada não é boa. Dada esta atenuação de banda de parada, claramente, o filtro de média móvel não pode separar uma banda de freqüências de outra. Como sabemos que um bom desempenho no domínio do tempo resulta em mau desempenho no domínio da freqüência, e vice-versa. Em suma, a média móvel é um filtro de suavização excepcionalmente bom (a ação no domínio do tempo), mas um filtro passa-baixa excepcionalmente ruim (a ação no domínio da freqüência) Links externos: Livros recomendados: Barra lateral principal